Պարապմունք 51

Առաջադրանքներ։

1․ Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան ներգնաձիգը ՝ ըստ տրված a և b էջերի
ա) a=3 սմ, b=4 սմ,
c = 5 սմ
բ) a=5 սմ, b=12 սմ։
c = 13 սմ

2․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը 60 սմ և 80 սմ են: Գտնել եռանկյան ներքնաձիգը:
100 սմ

3․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են a-ն և b-ն, իսկ ներգնաձիգը ՝ c-ն: Գտեք b-ն, եթե ՝
ա) a=12 սմ, c=13 սմ,
b = 5 սմ
բ) a=9, c=15; 
b = 12սմ

4․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջը 5 սմ է, իսկ ներքնաձիգը՝ 13 սմ: Գտնել եռանկյան մակերեսը:
30²

5․ Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը 13 դմ և 25 դմ երկարություններով հատվածներ են: Փոքր սրունքը 9 դմ է: Հաշվել սեղանի մեծ սրունքը:

6․ Մայրիկը բակում ուզում է կառուցել ուղղանկյունաձև ծաղկանոց՝ 6 մ և 8 մ կողմերով: Որքա՞ն պիտի լինի ծաղկանոցի անկյունագիծը, որպեսզի այն ունենա ուղղանկյան ձև:

10մ

7․ Շեղանկյան անկյունագծերը 14 սմ և 48 սմ են: Հաշվել շեղանկյան կողմը:Շ
Շեղանկյունի կողմը ուղղանկյան այն կողմի կեսն է, որի վրա գտնվում է անկյունագիծը:
Հետևաբար, անկյունագծի կողմը ներքնաձիքի կեսն է:
x = 12/2​ =7 սմ.

8․ Քառակուսու կողմը 25 սմ է: Հաշվել քառակուսու անկյունագիծը:

9․ Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 20 սմ է, իսկ սրունքը՝ 26 սմ: Հաշվել հիմքին տարված բարձրությունը:
h = 26/2 ​=13

10․Հավասարասրուն եռանկյան սրունքը 17 սմ է, իսկ հիմքը ՝ 16 սմ: Գտեք հիմքին տարված միջնագիծը:

11․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջը 15 սմ է, իսկ ներքնաձիգը՝ 25 սմ: Հաշվել երկրորդ էջի երկարությունը:
20սմ

Պարապմունք 48

1․ Սեղանի հիմքերը 3 մ և 7 մ են, իսկ բարձրությունը՝ 6 մ: Հաշվիր սեղանի մակերեսը:
3+7=10 սմ
10/2×6=30 սմ²

2․ Ո՞ր հատվածի երկարությունն է հավասար սեղանի հիմքերի կիսագումարին:

• միջնուղղահայացի
• միջին գծի
• անկյունագծի

3․Գտնել AD և BC հիմքերով ABCD սեղանի մակերեսը, եթե՝

ա) AD=21սմ, BC=17սմ, BH բարձրությունը 7սմ է,
21+17/2×7=133սմ²

բ) ∠D=30, AD=10սմ, BC=2սմ, CD=8սմ,
2+10/2×4=24 սմ²

գ) CD⊥AD, AD=13սմ, CD=8սմ, BC=5սմ:
13+5/2×8=72 սմ²

4. Հավասարասրուն սեղանի պարագիծը 32 սմ է, սրունքը՝ 5սմ, իսկ մակերեսը՝ 44սմ²: Գտեք սեղանի բարձրությունը:
32-(5+5)=22 սմ
22/2xh=44 սմ²
h=44/11
h=4 սմ

5․ ABCD սեղանի AD և BC հիմքերը համապատասխանաբար 10սմ և 8 սմ են: ACD եռանկյան մակերեսը 30սմ² է: Գտեք սեղանի մակերեսը:
10xh/2=30
h=30/5
h=6 սմ
10+8/2×6=54 սմ²

6. Ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը 30 սմ² է, պարագիծը՝ 28 սմ, իսկ փոքր սրունքը՝ 3 սմ: Գտնել սեղանի մեծ սրունքը:
AD+BC/2×3=30 սմ²
3(AD+BC)=30×2
AD+BC=20 սմ
28-3-20=5 սմ

7. Գտնել ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը, որի փոքր կողմերը 6սմ են, իսկ մեծ անկյունը՝ 135^o:
6+12/2×6=54 սմ²

8․ Տրված է ուղղանկյուն սեղան, որի փոքր հիմքը 6 սմ է: Փոքր սրունքը 18 սմ է, իսկ մեծը՝ հիմքի հետ կազմում է ∡45° -ի անկյուն: Գտնել սեղանի մակերեսը:
18+6=24սմ
24+6/2×18=270 սմ²

Պարապմունք 47

Առաջադրանքներ։

1․Օգտվելով գծագրից, գտնել ABD, BDC և ABC եռանկյունների մակերեսները։

ABD=72սմ²
BDC=96սմ²
ABC=168սմ²

2․Օգտվելով գծագրից, գտնել ABD, ADC և ABC եռանկյունների մակերեսները։

ABD=72սմ²
ADC=32սմ²
ABC=16սմ²

Օգտվելով գծագրից, գտնել ABC եռանկյան մակերեսը։
ABC=60սմ²

4. ABC եռանկյան մեջ ∠C=135^o, AC=6 դմ, իսկ BD բարձրությունը 2 դմ է։ Գտնել ABD եռանկյան մակերեսը։

ABC=8դմ²

5. Երկու եռանկյան բարձրությունները հավասար են, իսկ նրանցից մեկի հիմքը երկու անգամ փոքր է մյուսի հիմքից։ Գտնել այդ եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը։

2:1

Պարապմունք 46

1․ Գտնել 10 սմ ներքնաձիգով հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը։
25 սմ²

2․ ABC եռանկյան մեջ ∠C=135^o, AC= 6 դմ, իսկ BD բարձրությունը 2 դմ է։ Գտնել ABD եռանկյան մակերեսը։
8 սմ²

3․ Համեմատել այն երկու եռանկյունների մակերեսները, որոնց տրոհվում է տրված եռանկյունն իր միջնագծով։
եռանկյունները հավասար են։

4․ ABCD ուղղանկյուն BD անկյունագիծը 12 սմ է։ B գագաթի հեռավորությունը AC ուղղից հավասար է 4 սմ։ Գտնել ABC եռանկյան մակերեսը։
4×12=48 սմ
48/2=24 սմ²

Պարապմունք 45

Առաջադրանքներ:

1. Ո՞ր եռանկյունների մակերեսները կարելի է հաշվել a⋅b/2 բանաձևով: Կարող է լինել մեկ կամ մի քանի պատասխան:

• ոչ մեկի
• ուղղանկյուն եռանկյան
• ցանկացած եռանկյան
• հավասարասրուն եռանկյան

2. Լուծել և լրացնել աղյուսակը:

Եռանկյան կողմը՝ a	6.6մ	10 մմ	10.8սմ
Բարձրությունը՝ ha	8 մ	10 մմ	5 սմ
Եռանկյան մակերեսը՝ S	26.4 մ²	50 մմ²	27 սմ²

3․ Դիցուք՝ a-ն եռանկյան հիմքն է, h-ը՝ բարձրությունը, իսկ S-ը ՝ մակերեսը։

Գտնել ա) S-ը, եթե a= 6 սմ, h=11 սմ: S = 33սմ²

բ) h-ը, եթե a=15 սմ, S=45 սմ² է: h = 6սմ

գ) a-ն, եթե S=h², h=2 սմ։ a = 4սմ

4․ ABC եռանկյան AB և BC կողմերը համապատասխանաբար 16 սմ և 22 սմ են։ Գտնել BC կողմին տարված բարձրությունը, եթե AB կողմին տարված բարձրությունը 11 սմ է։

h = 8սմ։

5․ Գտնել ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը, եթե նրա էջերն են 4 սմ և 12 սմ։

24սմ²

6․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջերից մեկը 14 սմ, իսկ անկյուններից մեկը՝ 45^օ։ Գտնել եռանկյան մակերեսը։

98սմ²

7․ ABC եռանկյան մակերեսը 60սմ² է: Գտնել AB կողմը, եթե AC = 15սմ, ∠A=30^o:

8սմ

Պարապմունք 44

1․ Հաշվիր շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմը 20 դմ է, իսկ այդ կողմին տարված բարձրությունը 17 դմ է:
340 դմ²

2․ Շեղանկյան կողմը 6 սմ է, իսկ անկյուններից մեկը՝ 150^օ։ Գտնել շեղանկյան մակերեսը։
3 x 6 = 18սմ²

3․ Շեղանկյան բարձրությունը 2 սմ -ով փոքր է նրա կողմից: Հաշվիր շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա պարագիծը 32 սմ է:
8 x 6 = 48 սմ²

4․ Զուգահեռագծի մակերեսը 45 սմ² է, իսկ պարագիծը` 42 սմ: Կողմերից մեկին տարված բարձրությունը 5 անգամ փոքր է, քան այդ կողմը: Հաշվել`

1) տարված բարձրությունը,
3 սմ
2) կողմը, որին այն տարված է,
15 սմ
3) զուգահեռագծի երկրորդ կողմը:  
6 սմ

5․ Տրված է` CD=4 սմ, AD=8 սմ, BK=4 սմ։ Գտնել  S_ABCD-ն:

4 x 8 = 32 սմ²

6․ Զուգահեռագծի կողմերը 5 սմ և 15 սմ են, իսկ մեծ կողմին տարված բարձրությունը՝ 4.3 սմ: Հաշվիր փոքր կողմին տարված բարձրությունը:
15 x 4,3 = 64,5 սմ²
64,5/5=12,9 սմ

7․ Դիցուք՝ a-ն և b-ն զուգահեռագծի կից կողմերն են, իսկ h₁-ը և h₂-ը՝ բարձրությունները։ Գտնել
ա) h₂-ը, եթե a=18 սմ, b=30 սմ, h₁=6սմ, h₂>h₁ 
h₂=10 սմ
բ) եթե մակերեսը՝ S=54 սմ₂, a=4,5 սմ, b=6 սմ։
???

8. Գտնել զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 40 սմ² է, իսկ կողմերը՝ 10 սմ և 8 սմ։
30^o, 30^o, 150^o, 150^o

9․ Գտնել զուգահեռագծի անկյունները, եթե նրա մակերեսը 20 սմ² է, իսկ բութ անկյան գագաթից կողմերից մեկին տարված բարձրությունը այդ կողմը տրոհում է 2 սմ և 8 սմ երկարությամբ հատվածների՝ սկաց սուր անկյան գագաթից։
45^o, 45^o, 135^o, 135^o

10․ ABCD զուգահեռագծի B անկյունը բութ է։ AD կողմի շարունակության վրա՝ D կետից դեպի աջ նշված է E կետն այնպես, որ ∠ECD=60^օ, ∠CED=90^օ, AB=4 սմ, AD=10 սմ։ Գտնել զուգահեռագծի մակերեսը։
20սմ²

Պարապմունք 43

1․Սահմանել զուգահեռագծի բարձրությունը։
Զուգահեռագծի բարձրությունը դա ուղղահայացն է, որը տարված է զուգահեռագծի կողմի ցանկացած կետից դեպի հանդիպակաց կողմը պարունակող ուղիղը:

2․ Գրել զուգահեռագծի մակերեսի հաշվման բանաձևը։
Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա կողմի և նրան տարված բարձրության արտադրյալին:

3․ Դիցուք՝ զուգահեռագծի հիմքը a-ն է, բարձրությունը՝ h-ը, իսկ մակերեսը՝ S-ը: Գտնել՝
ա) S-ը, եթե a=14 սմ, h=15 սմ;
S=a ^_x h
14 սմ x 15 սմ = 210 սմ²

բ) a-ն, եթե S=45 սմ², h=7,5 սմ;
a = S / h
45/7,5= 6 սմ

գ) h-ը, եթե S=153 սմ², a=9 սմ
h = S / a
153/9=17 սմ

4․ Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 13 է, նրան տարած բարձրությունը՝ 8: Գտնել գուգահեռագծի մակերեսը:
104 սմ²

5․Զուգահեռագծի մակերեսը 63 է, կողմերից մեկը՝ 9: Գտնել այդ կողմին տարված բարձրությունը։
7 սմ

6․Զուգահեռագծի կից կողմերը 8 և 14 են, իսկ սուր անկյունը՝ 30°: Գտնել զուգահեռագծի մակերեսը:
56 սմ²

7․Զուգահեռագծի կից կողմերը 6 և 10 են: Փոքր կողմին տարած բարձրությունը 9 է: Գտնել մեծ կողմին տարած բարձրությունը։
6 x 9=54 սմ²
54/10=5,4 սմ

8․Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 9 սմ է, իսկ 16 սմ երկարությամբ անկյունագիծը նրա հետ կազմում է 30°-ի անկյուն: Գտնել զուգահեռագծի մակերեսը:
???

9․Զուգահեռագծի սուր անկյունը 30^օ է, իսկ բութ անկյան գագաթից տարված բարձրությունները հավասար են 2 սմ և 3 սմ: Գտնել զուգահեռագծի մակերեսը:
2×2=4 սմ
4×3=12 սմ²

Պարապմունք 42

1․Գտնել բազմանկյան մակերեսի հատկությունների վերաբերյալ ճիշտ պնդումը:

• Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են:
• Քառակուսու մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծի քառակուսուն:
• Եթե բազմանկյունները հավասար չեն, ապա հավասար չեն նաև նրանց մակերեսները:

2․Քառակուսու կողմը 8 է: Գտնել նրա մակերեսը:
64

3․Քառակուսու մակերեսը 225 է: Գտնել նրա պարագիծը:
900

4․Քառակուսու մակերեսը 121 է: Գտեք նրա պարագիծը:
44

5․ Ուղղանկյան կից կողմերը 14 և 5 են: Գտնել ուղղանկյան մակերեսը:
70

6․Ուղղանկյան կողմերից մեկը 12 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 84 սմ²։ Գտնել այդ ուղղանկյան պարագիծը։
38սմ

7․Ուղղանկյան կից կողմերը հարաբերում են, ինչպես 4:3, իսկ նրա պարագիծը 28 սմ է։ Գտնել այդ ուղղանկյան մակերեսը։

8․Հաշվել այն ուղղանկյան մակերեսը, որի երկարությունը 18 սմ է, իսկ լայնությունը 3 անգամ փոքր է երկարությունից:
108 սմ²

9․Ունենք երկու ուղղանկյուններ, որոնց մակերեսները հավասար են: Առաջին ուղղանկայն երկարությունը 14սմ է, իսկ լայնությունը 4 սմ: Մյուս ուղղանկյան լայնությունը 7սմ: Գտնել երկրորդ ուղղանկյան պարագիծը:
14×4=56 սմ²
56սմ² ։ 7 = 8 սմ
7+7+8+8=30 սմ

10․Որքա՞ն են ուղղանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 42 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 110 սմ²:
երկարություն―11սմ
լայնություն―10սմ

11․Երկու հողամասերի ցանկապատերի երկարությունները հավասար են: Առաջին հողամասը ուղղանկյունաձև է՝ 200 մ և 50 մ կողմերով, իսկ երկրորդն ունի քառակուսու ձև: Ո՞ր հողամասի մակերեսն է ավելի մեծ և քանի՞ քառակուսի մետրով է մեծ:
2-րդ հողամասը 5625 մեծ է ։

Պարապմունք 40

Առաջադրանքներ։

1․ 4 սմ և 20 սմ կողմերով ուղղանկյունը պտտվում է մեծ կողմի շուրջ: Որոշել առաջացած գլանի շառավիղը և բարձրությունը:
շառավիղ ― 4 սմ
բարձրություն ― 20 սմ

2․ Քառակուսին պտտվում է իր՝ 3 սմ երկարությամբ կողմի շուրջ: Գտնել առաջացած գլանի շառավիղը, բարձրությունը 
շառավիղ ― 3 սմ
բարձրություն ― 3 սմ

3․ Ընտրիր  գլանի վերաբերյալ ճիշտ պնդում(ներ)ը:

• Գլանի ծնորդը հավասար է հիմքի տրամագծին:
• Գլանի հիմքերը հավասար եռանկյուններ են:
• Գլանի ծնորդը հավասար է նրա բարձրությանը:

4․ Գլանի առանցքային հատույթի անկյունագիծը 64 սմ է: Գլանի ծնորդի հետ այն կազմում է 30° անկյուն: Որոշել գլանի հիմքի շառավիղը:
12 սմ

AA₁O₁O ուղղանկյունը պտտվում է OO₁ կողմի շուրջ: Արդյունքում առաջանում է գլան:

Տեղադրիր բաց թողնված բառերը:

ա) OO₁ հատվածը կոչվում է գլանի առանցք:

բ) AA₁ և BB₁ հատվածները կոչվում են գլանի ծնորդ :

գ) Պտտման ընթացքում առաջացած երկու շրջանները կոչվում են գլանի հիմքեր:

դ) Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է:

5․ Նշել կոնի վերաբերյալ ճիշտ պնդում(ներ)ը:

• Կոնի հիմքերը շրջաններ են:
• Կոնի հիմքը էլիպս է:
• Կոնի բացվածքը շրջանային սեկտոր է:

6․ 18 սմ և 24 սմ էջերով և 30 սմ ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյունը պտտվում է իր մեծ էջի շուրջ:

ա) Ի՞նչ պտտման մարմին է առաջանում՝ կոն :

բ) Պտտման մարմնի բարձրությունը՝  24 սմ է :

գ) Պտտման մարմնի ծնորդը՝  30 սմ է:

դ) Պտտման մարմնի շառավիղը՝  18 սմ է:

7․ Կոնի բարձրության երկարությունը 12 սմ է, իսկ ծնորդը հիմքի հարթության հետ կազմում է 30^օ անկյուն։ Գտնել կոնի ծնորդի երկարությունը։
24 սմ

8․ Կոնի ծնորդի երկարությունը 14 սմ է, և հիմքի հարթության հետ կազմում է 30^օ անկյուն։ Գտնել կոնի բարձրությունը։
7 սմ

9․Ընտրել  գնդի և գնդային մակերևույթի վերաբերյալ ճիշտ պնդում(ներ)ը:

• Կիսաշրջանի իր տրամագծի շուրջ պտույտի արդյունքում ստացվում է գունդ:
• Գունդը ստացվում է էլիպսի պտույտի միջոցով՝ իր կիզակետի շուրջ:
• Գնդային մակերևույթի կետերը տրված կետից ունեն տրված հեռավորությունը:
• Ուղղանկյան պտույտի միջոցով՝ իր կողերից որևէ մեկի շուրջ ստացվում է գունդ:

10․ Տրված են 6 սմ և 35 սմ շառավիղներով երկու գնդեր: Հաշվել այդ գնդերի կենտրոնների հեռավորությունը, եթե
ա) եթե գնդերը չեն հատվում,
x > 41 սմ
բ) գնդերը իրար շոշափում են,
41 սմ
գ) գնդերը հատվում են։
29 սմ < x < 41 սմ

Պարապմունք 41

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ի՞նչ է բազմանկյան մակերեսը։

Բազմանկյան մակերեսը հարթության այն մասն է, որը զբաղեցնում է բազմանկյունը:

2․ Գրել բազմանկյան մակերեսի հատկությունները։

1. Հավասար բազմանկյունների մակերեսները հավասար են:
2. Եթե բազմանկյունը կազմված է մի քանի բազմանկյուններից, ապա նրա մակերեսը հավասար է այդ բազմանկյունների մակերեսների գումարին:

3․ Ո՞ր բազմանկյուններն են կոչվում հավասարամեծ։

 Եթե բազմանկյունների մակերեսները հավասար են, իսկ բազմանկյունները հավասար չեն, ապա նրանք կոչվում են հավասարամեծ:

4․ Գրել քառակուսու և ուղղանկյան մակերեսի հաշվման բանաձևերը։

Քառակուսի S = a^2;
Ուղղանկյուն S = ab;

5․ Գտեք քառակուսու մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է՝

ա) 1,3 սմ, բ) 35 դմ, գ) 201 մ դ) 0,45 մ

ա) S = a^2 = (1,3սմ)^2 = 1,69սմ^2
բ) S = a^2 = (35դմ)^2 = 1225դմ^2
գ) S = a^2 = (201մ)^2 = 40401մ^2
դ) S = a^2 = (0.45մ)^2 = 0.2025մ^2

6․ Որոշել այն քառակուսու կողմը, որի մակերեսը հավասար է՝

ա) 36 սմ², բ) 64 դմ², գ) 6,25 մ², դ) 0,81 մ²:

ա) √(36 սմ^2) = 6 սմ
բ) √(64 դմ^2) = 8 դմ
գ) √(6,25 մ^2) = 2,5 մ
դ) √(0,81 մ^2) = 0,9 մ

7․ Քառակուսու մակերեսը 49 սմ² է: Գտնել քառակուսու կողմը և քառակուսու մակերեսն արտահայտել քառակուսի միլիմետրով,

S = a^2
a = √(S)
S = 49սմ^2 = 4900մմ^2
a = √(49սմ^2) = 7սմ

8․ ա) Քանի՞  անգամ  կմեծանա քառակուսու մակերեսը, եթե նրա բոլոր կողմերը մեծացվեն  3 անգամ,
S₁ = a^2
S₂ = (3a)^2 = 9a^2
S₂ / S₁ = 9a^2 / a^2 = 9

բ)Քանի՞  անգամ  կփոքրանա  քառակուսու մակերեսը բոլոր կողմերը փոքրացվեն 2 անգամ:

S₁ = a^2
S₂ = (0.5a)^2 = 0.25a^2
S₁ / S₂ = a^2 / 0.25a^2 = 4

գ) Քանի՞ անգամ պետք է մեծացնել քառակուսու կողմը, որպեսզի նրա մակերսը սկզբնականից մեծանա 36 անգամ:

S₁ = a^2
S₂ = (xa)^2 = 36a^2
x = √(36) = 6

9․ Գտնել ուղղանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմերը հավասար են՝ ա) a=5 սմ, b=6սմ, բ)a=2,5 մ, b=4 մ գ) a=2,1 սմ, b=3,5 սմ

ա) S = ab = 5մ*6մ = 30սմ^2
բ) S = ab = 2,5մ*4մ = 10մ^2
գ) S = ab = 2,1սմ*3.5սմ = 7.35սմ^2

10․ Գտնել ուղղանկյան անհայտ կողմը, եթե ուղղանկյան մակերեսը 24 սմ², իսկ կողմերից մեկը 4 սմ է։

S = ab; a = S/b; b = S/a:
b = S/a = 24սմ^2 / 4սմ = 6սմ